東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

昨夜、時間切れで手がつけられなかった高２の塾生の学校の演習課題を取り上げます。

それは、
「

を解とする３次方程式

の係数ａ、ｂとその他の解を求めなさい。」
というもので、解法は、
［１］解１－ｉを与えられた方程式に代入・整理し、実数部と虚数部を０とするａ、ｂの連立方程式をつくり、ａ、ｂを求める方法
と、
［２］与えられた解の共役複素数も解になることからそれらの２つの複素数を解にもつ２次方程式を求めた後、係数を比較してａ、ｂを求める方法
があります。

まず、［１］を調べていきましょう。


を３次方程式に代入し、実数部と虚数部に分けて整理すると、

になります。

これから、
ｂ－４＝０
２ａ＋ｂ＋２＝０
が成り立つので、これらをａ、ｂについて解くと、
ａ＝－３
ｂ＝４
で、与えられた３次方程式は、

になります。

次に、

と置くと、ｆ（１）＝０なので、因数定理から、

です。

ここで、

を解の公式で解くと、

になります。

以上から、ａ＝－３、ｂ＝４で、他の解は、１ と １＋ｉ　になります。

続いて［２］を調べてみましょう。

与えられた３次方程式の１つの解が １－ｉ なので、その共役複素数である １＋ｉ も３次方程式の解になります。

一方、１±ｉ を解とする２次方程式は、解と係数の関係から、ｘの項の係数は－（（１＋ｉ）＋１－ｉ）＝－２、定数項は、（１＋ｉ）（１－ｉ）＝２なので、

です。

したがって、与えられた３次方程式は、

と表すことができ、この右辺を展開すると、

になります。

そこでこれらの係数を比較して、
ａ＝－２－ｃ
ｂ＝２＋２ｃ
－２＝－２ｃ
から、
ａ＝－３
ｂ＝４
ｃ＝１
なります。

以上から、ａ＝－３、ｂ＝４で、他の解は、１ と １＋ｉ　になります。

どちらの解き方でもＯＫですが、［１］の場合は注意して複素数の計算をしましょう。