こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
相変わらず夏の太平洋高気圧の定位置に低気圧が陣取っていて、ぱっとしない天気が続きます。ラジオの天気予報では、今日の気温は５月並みと言っていました。涼しいのは有難いのですが、折角の夏休みなので、もう少し夏らしい天気がいいかなと思う次第です。
さて、今回は２０１３年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「ａ、ｂ、ｃを２桁の相異なる正の整数とする。積ａｂｃの下２桁が９９であるとき、ａ＋ｂ＋ｃとしてありうる最大の値を求めよ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
積ａｂｃの１桁目が９であることから、ａ、ｂ、ｃの１桁目の数を絞り込むことは簡単そうです。
２つの１桁の整数で、積の１桁目が９になる組合せは、
（１，９）（３，３）（７，７）
です。
さらに、２つの１桁の整数で、積の１桁目が上記の３つの組合せに現れた１、３、７、９になる組合せは、
・１になる組合せ
（１，１）（３，７）（９，９）
・３になる組合せ
（１，３）（７，９）
・７になる組合せ
（１，７）（３，９）
・９になる組合せ
（１，９）（３，３）（７，７）
です。
以上から、３つの１桁の整数で、積の１桁目が９になる組合せは、
（１，１，９）（３，７，９）（９，９，９）（１，１，９）（１，３，３）（１，７，７）
（１，３，３）（７，９，３）
（１，７，７）（７，３，９）
で、重複しているものを除き、３つの数を小さい順に並べて整理すると、
（１，１，９）（３，７，９）（９，９，９）（１，３，３）（１，７，７）
の５通りです。
次に、積ａｂｃの２桁目が９であることからａ、ｂ、ｃの条件を引き出しましょう。
上の５つの場合について、２桁の整数は次のように表すことができます。ここで、１≦ｐ、ｑ、ｒ≦９、ｐ、ｑ、ｒは整数です。
【１】（１，１，９）の場合：１０ｐ＋１、１０ｑ＋１、１０ｒ＋９
【２】（３，７，９）の場合：１０ｐ＋３、１０ｑ＋７、１０ｒ＋９
【３】（９，９，９）の場合：１０ｐ＋９、１０ｑ＋９、１０ｒ＋９
【４】（１．３．３）の場合：１０ｐ＋１、１０ｑ＋３、１０ｒ＋３
【５】（１，７，７）の場合：１０ｐ＋１、１０ｑ＋７、１０ｒ＋７
次に、【１】から【５】について、３つの２桁の整数の積を計算します。
【１】（１０ｐ＋１）（１０ｑ＋１）（１０ｒ＋９）＝１００（１０ｐｑｒ＋９ｐｑ＋ｐｒ＋ｑｒ）＋１０（９ｐ＋９ｑ＋ｒ）＋９
【２】（１０ｐ＋３）（１０ｑ＋７）（１０ｒ＋９）＝１００（１０ｐｑｒ＋９ｐｑ＋７ｐｒ＋３ｑｒ）＋１０（６３ｐ＋２７ｑ＋２１ｒ＋１８）＋９
【３】（１０ｐ＋９）（１０ｑ＋９）（１０ｒ＋９）＝１００（１０ｐｑｒ＋９ｐｑ＋９ｐｒ＋９ｑｒ）＋１０（８１ｐ＋８１ｑ＋８１ｒ＋７２）＋９
【４】（１０ｐ＋１）（１０ｑ＋３）（１０ｒ＋３）＝１００（１０ｐｑｒ＋ｐｑ＋３ｐｒ＋ｑｒ）＋１０（９ｐ＋３ｑ＋３ｒ）＋９
【５】（１０ｐ＋１）（１０ｑ＋７）（１０ｒ＋７）＝１００（１０ｐｑｒ＋７ｐｑ＋７ｐｒ＋ｑｒ）＋１０（４９ｐ＋７ｑ＋７ｒ＋４）＋９
ここで、<式>を式の１桁目の数とすると、【１】から【５】の２桁目が９になるためには、
【１】 <９ｐ＋９ｑ＋ｒ>＝９
【２】 <６３ｐ＋２７ｑ＋２１ｒ＋１８>＝９ ⇒ <６３ｐ＋２７ｑ＋２１ｒ>＝１ ⇒ <２１ｐ＋９ｑ＋７ｒ>＝７
【３】 <８１ｐ＋８１ｑ＋８１ｒ＋７２>＝９ ⇒ <８１ｐ＋８１ｑ＋８１ｒ>＝７ ⇒ <ｐ＋ｑ＋ｒ>＝７
【４】 <９ｐ＋３ｑ＋３ｒ>＝９ ⇒ <３ｐ＋ｑ＋ｒ>＝３
【５】 <４９ｐ＋７ｑ＋７ｒ＋４> ⇒ <４９ｐ＋７ｑ＋７ｒ>＝５ ⇒ <７ｐ＋ｑ＋ｒ>＝５
です。
さらに３つの２桁の数が相異なることを付け加えてまとめると、
【１】 <９ｐ＋９ｑ＋ｒ>＝９、ｐ≠ｑ
【２】 <２１ｐ＋９ｑ＋７ｒ>＝７
【３】 <ｐ＋ｑ＋ｒ>＝７、ｐ≠ｑ≠ｒ
【４】 <３ｐ＋ｑ＋ｒ>＝３、ｑ≠ｒ
【５】 <７ｐ＋ｑ＋ｒ>＝５、ｑ≠ｒ
になります。
ここから【１】から【５】の条件を満たすｐ、ｑ、ｒを調べていきましょう。このとき、ａ＋ｂ＋ｃ＝１０（ｐ＋ｑ＋ｒ）＋（一桁目の数の和）なので、ａ＋ｂ＋ｃの最大値を求めるには、ｐ＋ｑ＋ｒの最大値を求めればＯＫです。
【１】の場合
９ｐ＋９ｑ＋ｒ≦９・９＋９・９＋９＝１７１から、<９ｐ＋９ｑ＋ｒ>＝９になる９ｐ＋９ｑ＋ｒの値は大きい順に、１６９、１５９、１４９、・・・です。
一方、９ｐ＋９ｑ＋ｒが取り得る値は大きい順に（ｐ≠ｑを考慮して）、１６２（ｐ＝ｒ＝９、ｑ＝８）、１６１（ｐ＝９、ｑ＝ｒ＝８）、１６０（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝７）、１５９（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝６）、・・・なので、９ｐ＋９ｑ＋ｒ＝１５９が条件を満たします。
したがって、２桁の整数は９１、８１、６９で、それら和は２４１です。
【２】の場合
２１ｐ＋９ｑ＋７ｒ≦２１・９＋９・９＋７・９＝３３３から、<２１ｐ＋９ｑ＋７ｒ>＝７になる２１ｐ＋９ｑ＋７ｒの値は大きい順に、３２７、３１７、３０７、・・・です。
一方、２１ｐ＋９ｑ＋７ｒが取り得る値は大きい順に、３３３（ｐ＝ｑ＝ｒ＝９）、３２６（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝８）、３２４（ｐ＝ｒ＝９、ｑ＝８）、３１９（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝７）、３１７（ｐ＝９、ｑ＝ｒ＝８）、・・・なので、２１ｐ＋９ｑ＋７ｒ＝３１７が条件を満たします。
したがって、２桁の整数は９３、８７、８９で、それら和は２６９です。
【３】の場合
ｐ＋ｑ＋ｒ≦９＋９＋９＝２７から、<ｐ＋ｑ＋ｒ>＝７になるｐ＋ｑ＋ｒの値は大きい順に２７、１７、７です。
一方、ｐ＋ｑ＋ｒが取り得る値は大きい順に（ｐ≠ｑ≠ｒを考慮して）、２４（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝７）２３（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝６）、２２（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝５）、２１（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝４）、２０（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝３）、１９（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝２）、１８（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝１）、１７（ｐ＝９、ｑ＝７、ｒ＝１）、・・・なので、ｐ＋ｑ＋ｒ＝１７が条件を満たします。
したがって、２桁の整数は９９、７９、１９などで、それらの和は１９７です。
【４】の場合
３ｐ＋ｑ＋ｒ≦３・９＋９＋９＝４５から、<３ｐ＋ｑ＋ｒ>＝３になる３ｐ＋ｑ＋ｒの値は大きい順に、４３、３３、２３、・・・です。
一方、３ｐ＋ｑ＋ｒが取りえる値は大きい順に（ｑ≠ｒを考慮して）、４４（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝８）、４３（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝７）、・・・なので、３ｐ＋ｑ＋ｒ＝４３が条件を満たします。
したがって、２桁の整数は９１、９３、７３などで、それらの和は２５７です。
【５】の場合
７ｐ＋ｑ＋ｒ≦７・９＋９＋９＝８１から、<７ｐ＋ｑ＋ｒ>＝５になる７ｐ＋ｑ＋ｒの値は大きい順に、７５、６５、５５、・・・です。
一方、７ｐ＋ｑ＋ｒが取り得る値は大きい順に（ｑ≠ｒに考慮して）、８０（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝８）、７９（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝７）、７８（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝６）、７７（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝５）、７６（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝４）、７５（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝３）、・・・なので、７ｐ＋ｑ＋ｒ＝７５が条件を満たします。
したがって、２桁の整数は９１、９７、３７などで、それらの和は２２５です。
以上から、ａ＋ｂ＋ｃが最大になるのは、【２】の場合で、その値は２６９になり、これが答えです。
２つの整数の積ならば単純ですが、３つの積になると大分複雑になります。面白い問題でした。
相変わらず夏の太平洋高気圧の定位置に低気圧が陣取っていて、ぱっとしない天気が続きます。ラジオの天気予報では、今日の気温は５月並みと言っていました。涼しいのは有難いのですが、折角の夏休みなので、もう少し夏らしい天気がいいかなと思う次第です。
さて、今回は２０１３年ジュニア数学オリンピック予選に出題された整数問題を取り上げます。
問題は、
「ａ、ｂ、ｃを２桁の相異なる正の整数とする。積ａｂｃの下２桁が９９であるとき、ａ＋ｂ＋ｃとしてありうる最大の値を求めよ。」
です。
早速、取り掛かりましょう。
積ａｂｃの１桁目が９であることから、ａ、ｂ、ｃの１桁目の数を絞り込むことは簡単そうです。
２つの１桁の整数で、積の１桁目が９になる組合せは、
（１，９）（３，３）（７，７）
です。
さらに、２つの１桁の整数で、積の１桁目が上記の３つの組合せに現れた１、３、７、９になる組合せは、
・１になる組合せ
（１，１）（３，７）（９，９）
・３になる組合せ
（１，３）（７，９）
・７になる組合せ
（１，７）（３，９）
・９になる組合せ
（１，９）（３，３）（７，７）
です。
以上から、３つの１桁の整数で、積の１桁目が９になる組合せは、
（１，１，９）（３，７，９）（９，９，９）（１，１，９）（１，３，３）（１，７，７）
（１，３，３）（７，９，３）
（１，７，７）（７，３，９）
で、重複しているものを除き、３つの数を小さい順に並べて整理すると、
（１，１，９）（３，７，９）（９，９，９）（１，３，３）（１，７，７）
の５通りです。
次に、積ａｂｃの２桁目が９であることからａ、ｂ、ｃの条件を引き出しましょう。
上の５つの場合について、２桁の整数は次のように表すことができます。ここで、１≦ｐ、ｑ、ｒ≦９、ｐ、ｑ、ｒは整数です。
【１】（１，１，９）の場合：１０ｐ＋１、１０ｑ＋１、１０ｒ＋９
【２】（３，７，９）の場合：１０ｐ＋３、１０ｑ＋７、１０ｒ＋９
【３】（９，９，９）の場合：１０ｐ＋９、１０ｑ＋９、１０ｒ＋９
【４】（１．３．３）の場合：１０ｐ＋１、１０ｑ＋３、１０ｒ＋３
【５】（１，７，７）の場合：１０ｐ＋１、１０ｑ＋７、１０ｒ＋７
次に、【１】から【５】について、３つの２桁の整数の積を計算します。
【１】（１０ｐ＋１）（１０ｑ＋１）（１０ｒ＋９）＝１００（１０ｐｑｒ＋９ｐｑ＋ｐｒ＋ｑｒ）＋１０（９ｐ＋９ｑ＋ｒ）＋９
【２】（１０ｐ＋３）（１０ｑ＋７）（１０ｒ＋９）＝１００（１０ｐｑｒ＋９ｐｑ＋７ｐｒ＋３ｑｒ）＋１０（６３ｐ＋２７ｑ＋２１ｒ＋１８）＋９
【３】（１０ｐ＋９）（１０ｑ＋９）（１０ｒ＋９）＝１００（１０ｐｑｒ＋９ｐｑ＋９ｐｒ＋９ｑｒ）＋１０（８１ｐ＋８１ｑ＋８１ｒ＋７２）＋９
【４】（１０ｐ＋１）（１０ｑ＋３）（１０ｒ＋３）＝１００（１０ｐｑｒ＋ｐｑ＋３ｐｒ＋ｑｒ）＋１０（９ｐ＋３ｑ＋３ｒ）＋９
【５】（１０ｐ＋１）（１０ｑ＋７）（１０ｒ＋７）＝１００（１０ｐｑｒ＋７ｐｑ＋７ｐｒ＋ｑｒ）＋１０（４９ｐ＋７ｑ＋７ｒ＋４）＋９
ここで、<式>を式の１桁目の数とすると、【１】から【５】の２桁目が９になるためには、
【１】 <９ｐ＋９ｑ＋ｒ>＝９
【２】 <６３ｐ＋２７ｑ＋２１ｒ＋１８>＝９ ⇒ <６３ｐ＋２７ｑ＋２１ｒ>＝１ ⇒ <２１ｐ＋９ｑ＋７ｒ>＝７
【３】 <８１ｐ＋８１ｑ＋８１ｒ＋７２>＝９ ⇒ <８１ｐ＋８１ｑ＋８１ｒ>＝７ ⇒ <ｐ＋ｑ＋ｒ>＝７
【４】 <９ｐ＋３ｑ＋３ｒ>＝９ ⇒ <３ｐ＋ｑ＋ｒ>＝３
【５】 <４９ｐ＋７ｑ＋７ｒ＋４> ⇒ <４９ｐ＋７ｑ＋７ｒ>＝５ ⇒ <７ｐ＋ｑ＋ｒ>＝５
です。
さらに３つの２桁の数が相異なることを付け加えてまとめると、
【１】 <９ｐ＋９ｑ＋ｒ>＝９、ｐ≠ｑ
【２】 <２１ｐ＋９ｑ＋７ｒ>＝７
【３】 <ｐ＋ｑ＋ｒ>＝７、ｐ≠ｑ≠ｒ
【４】 <３ｐ＋ｑ＋ｒ>＝３、ｑ≠ｒ
【５】 <７ｐ＋ｑ＋ｒ>＝５、ｑ≠ｒ
になります。
ここから【１】から【５】の条件を満たすｐ、ｑ、ｒを調べていきましょう。このとき、ａ＋ｂ＋ｃ＝１０（ｐ＋ｑ＋ｒ）＋（一桁目の数の和）なので、ａ＋ｂ＋ｃの最大値を求めるには、ｐ＋ｑ＋ｒの最大値を求めればＯＫです。
【１】の場合
９ｐ＋９ｑ＋ｒ≦９・９＋９・９＋９＝１７１から、<９ｐ＋９ｑ＋ｒ>＝９になる９ｐ＋９ｑ＋ｒの値は大きい順に、１６９、１５９、１４９、・・・です。
一方、９ｐ＋９ｑ＋ｒが取り得る値は大きい順に（ｐ≠ｑを考慮して）、１６２（ｐ＝ｒ＝９、ｑ＝８）、１６１（ｐ＝９、ｑ＝ｒ＝８）、１６０（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝７）、１５９（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝６）、・・・なので、９ｐ＋９ｑ＋ｒ＝１５９が条件を満たします。
したがって、２桁の整数は９１、８１、６９で、それら和は２４１です。
【２】の場合
２１ｐ＋９ｑ＋７ｒ≦２１・９＋９・９＋７・９＝３３３から、<２１ｐ＋９ｑ＋７ｒ>＝７になる２１ｐ＋９ｑ＋７ｒの値は大きい順に、３２７、３１７、３０７、・・・です。
一方、２１ｐ＋９ｑ＋７ｒが取り得る値は大きい順に、３３３（ｐ＝ｑ＝ｒ＝９）、３２６（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝８）、３２４（ｐ＝ｒ＝９、ｑ＝８）、３１９（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝７）、３１７（ｐ＝９、ｑ＝ｒ＝８）、・・・なので、２１ｐ＋９ｑ＋７ｒ＝３１７が条件を満たします。
したがって、２桁の整数は９３、８７、８９で、それら和は２６９です。
【３】の場合
ｐ＋ｑ＋ｒ≦９＋９＋９＝２７から、<ｐ＋ｑ＋ｒ>＝７になるｐ＋ｑ＋ｒの値は大きい順に２７、１７、７です。
一方、ｐ＋ｑ＋ｒが取り得る値は大きい順に（ｐ≠ｑ≠ｒを考慮して）、２４（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝７）２３（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝６）、２２（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝５）、２１（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝４）、２０（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝３）、１９（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝２）、１８（ｐ＝９、ｑ＝８、ｒ＝１）、１７（ｐ＝９、ｑ＝７、ｒ＝１）、・・・なので、ｐ＋ｑ＋ｒ＝１７が条件を満たします。
したがって、２桁の整数は９９、７９、１９などで、それらの和は１９７です。
【４】の場合
３ｐ＋ｑ＋ｒ≦３・９＋９＋９＝４５から、<３ｐ＋ｑ＋ｒ>＝３になる３ｐ＋ｑ＋ｒの値は大きい順に、４３、３３、２３、・・・です。
一方、３ｐ＋ｑ＋ｒが取りえる値は大きい順に（ｑ≠ｒを考慮して）、４４（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝８）、４３（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝７）、・・・なので、３ｐ＋ｑ＋ｒ＝４３が条件を満たします。
したがって、２桁の整数は９１、９３、７３などで、それらの和は２５７です。
【５】の場合
７ｐ＋ｑ＋ｒ≦７・９＋９＋９＝８１から、<７ｐ＋ｑ＋ｒ>＝５になる７ｐ＋ｑ＋ｒの値は大きい順に、７５、６５、５５、・・・です。
一方、７ｐ＋ｑ＋ｒが取り得る値は大きい順に（ｑ≠ｒに考慮して）、８０（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝８）、７９（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝７）、７８（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝６）、７７（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝５）、７６（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝４）、７５（ｐ＝ｑ＝９、ｒ＝３）、・・・なので、７ｐ＋ｑ＋ｒ＝７５が条件を満たします。
したがって、２桁の整数は９１、９７、３７などで、それらの和は２２５です。
以上から、ａ＋ｂ＋ｃが最大になるのは、【２】の場合で、その値は２６９になり、これが答えです。
２つの整数の積ならば単純ですが、３つの積になると大分複雑になります。面白い問題でした。
