東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１２年麻布中入試問題で出題された規則性の問題を取り上げます。

問題は、
「ある規則に従った数の並びＡ、Ｂ、Ｃがあります。

　Ａ ： １，７，１３，１９，２５，３１，・・・・・・
　Ｂ ： ６，１６，２６，３６，４６，５６，・・・・・・
　Ｃ ： １０，２５，４０，５５，７０，８５，・・・・・・

以下の問いに答えなさい。
（１）ＡとＢの数の並びには共通して現れる数はありません。その理由を書きなさい。
（２）ＢとＣの数の並びには共通して現れる数はありません。その理由を書きなさい。
（３）次にＡ、Ｂ、Ｃの並びに現れる数を小さい順に並べた数の並びをＤとします。ただし、同じ数は１つだけ書くことにします。

　Ｄ ： １，６，７，１０，１３，１６，１９，２５，２６，・・・・・・

２０１２以下の数はＤの中に何個ありますか。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

ｎを非負整数とすると、Ａ、Ｂ、Ｃの並びに現れる数はそれぞれ、
Ａ ： ６ｎ＋１
Ｂ ： １０ｎ＋６
Ｃ ： １５ｎ＋１０
と表すことができます。

ここで、
Ａ ： ６ｎ＋１＝２（３ｎ）＋１
Ｂ ： １０ｎ＋６＝２（５ｎ＋３）
と変形すると、３ｎ、５ｎ＋３はどちらも整数なので、 Ａは奇数、Ｂは偶数 です。

したがって、ＡとＢの数の並びに共通して現れる数はありません。

次に、
Ｂ ： １０ｎ＋６＝５（２ｎ＋１）＋１
Ｃ ： １５ｎ＋１０＝５（３ｎ＋２）
と変形すると、２ｎ＋１、３ｎ＋２はどちらも整数なので、Ｂは５で割って１余る数、Ｃは５の倍数 です。

したがって、ＢとＣの数の並びに共通して現われる数はありません。

続いて（３）です。

ＡとＢ、ＢとＣに共通する数はないので、Ｄの数の個数は、
（Ｄの数の個数）＝（Ａの数の個数）＋（Ｂの数の個数）＋（Ｃの数の個数）－（ＡとＣに共通する数の個数）
になります。

１以上２０１２以下のＡ、Ｂ、Ｃの数の個数は、
Ａ ： １≦６ｎ＋１≦２０１２　　 → ０≦ｎ≦３３５ → ３３６個
Ｂ ： １≦１０ｎ＋６≦２０１２　 → ０≦ｎ≦２００ → ２０１個
Ｃ ： １≦１５ｎ＋１０≦２０１２ → ０≦ｎ≦１３３ → １３４個
です。

また、ＡとＣに共通する数をＮとすると、Ｎは、
Ｎ＝６ｍ＋１
　＝１５ｋ＋１０　　　　（★）
と表すことができ、これを変形して、
６（ｍ－４）＋２５＝１５（ｋ－１）＋２５
６（ｍ－４）＝１５（ｋ－１）
２（ｍ－４）＝５（ｋ－１）
とすると、２と５は互いに素なので、ｍ－４は５の倍数になります。

つまり、
ｍ－４＝５ｐ
ｍ＝５ｐ＋４
で、これを（★）に代入すると、
Ｎ＝６（５ｐ＋４）＋１
　＝３０ｐ＋２５
です。

したがって、１以上２０１２以下のＡとＣに共通する数の個数は、
１≦３０ｐ＋２５≦２０１２ → ０≦ｐ≦６６ → ６７個
です。

以上から、
（Ｄの数の個数）＝（Ａの数の個数）＋（Ｂの数の個数）＋（Ｃの数の個数）－（ＡとＣに共通する数の個数）　
　　　　　　　　＝３３６＋２０１＋１３４－６７
　　　　　　　　＝６０４（個）
で、これが答えです。


（３）は、倍数、公倍数の個数を計算するだけなので簡単な問題です。