東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１８年開成中入試に出題された面積問題を取り上げます。

問題は、
「下の図において、四角形ＡＢＣＤは正方形で、ＢＥ＝ＥＦ＝ＦＣ、ＣＧ＝ＧＤです。


（i） 三角形ＡＩＪと四角形ＡＢＣＤの面積比を最も簡単な整数の比で答えなさい。
（ii） 四角形ＨＩＪＫと四角形ＡＢＣＤの面積比を最も簡単な整数の比で答えなさい。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１のように、ＧからＤＡに平行な直線を引き、それとＡＢ、ＡＥ、ＡＦ、ＢＤとの交点をそれぞれＬ、Ｓ、Ｒ、Ｑとし、さらに、Ｈ、Ｉ、Ｋ、ＪからＢＣに下ろした垂線の足をそれぞれＭ、Ｎ、Ｏ、Ｐとします。


（i）から始めましょう。

図２のように、△ＡＢＥに着目すると、△ＡＢＥ∽△ＡＬＳで、その相似比は２：１です。


ここで、正方形ＡＢＣＤの一辺の長さを１とすると、ＢＥ＝１/３なので、ＬＳ＝１/６で、したがって、ＧＳ＝５/６ になります。

そこで図３のように△ＩＢＥと△ＩＧＳに着目すると、それらは相似で、その相似比は、１/３：５/６＝２：５です。


したがって、ＩＮ＝１/７ になります。

続いて図４のように、△ＡＢＦに着目すると、△ＡＢＦ∽△ＡＬＲで、その相似比は２：１です。


このとき、ＢＦ＝２/３なので、ＬＲ＝１/３で、ＧＲ＝２/３ になります。

そこで図５のように△ＪＢＦと△ＪＧＲに着目すると、それらは相似で、その相似比は、２/３：２/３＝１：１です。


したがって、ＪＰ＝１/４ になります。

ここから△ＡＩＪの面積Ｓ（△ＡＩＪ）を計算しましょう。

Ｓ（△ＡＩＪ）＝Ｓ（△ＡＥＦ）－Ｓ（△ＪＢＦ）＋Ｓ（△ＩＢＥ）
で、
Ｓ（△ＡＥＦ）＝１/３×１×１/２＝１/６
Ｓ（△ＪＢＦ）＝２/３×１/４×１/２＝１/１２
Ｓ（△ＩＢＥ）＝１/３×１/７×１/２＝１/４２
から、
Ｓ（△ＡＩＪ）＝１/６－１/１２＋１/４２
　　　　　　　＝（１４－７＋２）/８４
　　　　　　　＝９/８４
　　　　　　　＝３/２８
です。

ここで、正方形ＡＢＣＤの面積は１なので、三角形ＡＩＪと四角形ＡＢＣＤの面積比は、３/２８：１＝ ３：２８ で、これが答えです。

続いて（ii）です。

図６のように、△ＨＢＥと△ＨＱＳに着目すると、それらは相似です。


このとき、ＳＱ＝ＬＱ－ＬＳ＝１/２－１/６＝１/３なので、△ＨＢＥと△ＨＱＳの相似比は１：１ になり、ＨＭ＝１/４です。

一方、ＪＰ＝１/４ですから、ＨＭ＝ＪＰで、ＨＪはＢＣ、ＬＧに平行になります。

すると△ＡＥＦと△ＡＨＪは相似で、図７のように、その相似比は１：３/４＝４：３です。


したがって、ＨＪ＝１/４ になります。

次に図８のように、△ＫＢＦと△ＫＱＲに着目すると、それらは相似で、その相似比は２/３：１/６＝４：１です。


したがって、ＫＯ＝２/５ になります。

ここから四角形ＨＩＪＫの面積Ｓ（□ＨＩＪＫ）を計算しましょう。

Ｓ（□ＨＩＪＫ）＝Ｓ（△ＫＨＪ）＋Ｓ（△ＩＨＪ）
で、
Ｓ（△ＫＨＪ）＝ＨＪ×（ＫＯ－ＨＭ）×１/２＝１/４×（２/５－１/４）×１/２＝１/８×３/２０＝３/３２×１/５
Ｓ（△ＩＨＪ）＝ＨＪ×（ＨＭ－ＩＮ）×１/２＝１/４×（１/４－１/７）×１/２＝１/８×３/２８＝３/３２×１/７
から、
Ｓ（□ＨＩＪＫ）＝３/３２×１/５＋３/３２×１/７
　　　　　　　 ＝３/３２×（１/５＋１/７）
　　　　　　　 ＝３/３２×１２/３５
　　　　　　　 ＝９/２８０
です。

したがって、四角形ＨＩＪＫと四角形ＡＢＣＤの面積比は、９/２８０：１＝ ３：２８０ で、これが答えです。


見通しのよい問題です。