みなさん確率は好きですか?
私は、確率は結構好きな分野です。確率の問題では実際に計算してみるまでどれくらいの値になるのか予想がつかず、時には非常に意外な結果が出てきます。その感覚のずれなども興味深いですね。

今日はそんな確率の問題を1つ取り上げます。


ある重大な病気について、99.9%の確率で陽性・陰性を正しく判定できる簡易検査法が開発されました。この病気は1万人に1人の難病で、命にもかかわります。あなたはこの検査を受けた結果、なんと陽性と判定されてしまいました。あなたが本当に陽性である確率はいくらでしょうか?


解答です。
この問題は条件付き確率の問題です。陽性と判定されたという条件のもとで、本当に陽性である確率を求めなければなりません。なので単純に99.9%と考えてしまっては間違いです。条件付き確率の公式を思い出しましょう。
(Aという条件下でBの起きる確率)=(AかつBが起きる確率)÷(Aの起きる確率)
でしたね。この問題の場合は、
A:この検査で陽性と判定される
B:実際に陽性である
となります。計算してみましょう。
Aの陽性と判定される確率ですが、陽性と判定されるには
①実際に陽性で、正しい判定が出た場合
②実際は陰性で、間違った判定が出た場合
があり、これらは背反(同時に起こらない)なので、それぞれの確率を足せばよいです。
①……(陽性である確率)×(正しい判定が出る確率)=1/10,000×999/1,000=999/10,000,000
②……(陰性である確率)×(間違った判定が出る確率)=9,999/10,000×1/1,000=9,999/10,000,000
ですので、Aの確率は
①+②=10,998/10,000,000
ということになります。次にAかつBの確率は①、つまり999/10,000,000ですので、求める確率は
①÷(①+②)=999/10,998≒9.1%

この結果は少し意外なものでしょう。99.9%という高確率で正しい判定が出るはずなのに、実際に陽性なのは10%にも満たないのですから。このような結果になるのは、そもそもこの病気になる確率が1/10,000ととても低いことが原因です。実際に陽性で正しい判定が出る人よりも、実際には陰性なのに陽性と判定されてしまう人のほうが圧倒的に多いので、確率が低くなってしまうのです。

これが確率の問題として出されたら、このようにしっかりと考えられる人も多いと思いますが、実際に検査を受けて同じ状況になった場合には落ち着いて判断できず、99.9%という確率が独り歩きして絶望してしまうようなこともよく起こりうると思われます。そのようなときは、診察する医者が患者に正しい情報を与えて、(嫌な数字であることは確かですが)絶望するような確率ではないことをきちんと伝える必要がありますね。


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