今日は、地頭力・発見力(アイデアやひらめきが浮かぶ力)・試行錯誤力を要する難問！千葉県共通(2017年)の模型問題を紹介します。
親子で挑戦してみてください！
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先生とゆうきさんは,プラスチックでできた球(以下「球」とします。)と連結棒(以下「棒」とします。)を使ってできる模型について,会話をしています。
あとの(１)～(４)の問いに答えなさい。
ただし,棒は球の表面のどこにでも差しこむことができ,球の表面を自由に動かすことができることとします。
また,棒の両端には必ず球を差しこむものとし,１つの球に差しこむことのできる棒は,最大４本までとします。
先生：これから「球と棒」(図１)を使って模型を作ります。
図２の あ, い とは同じ模型と考えます。しかし,２本の棒を使っている う は, あ, い とはちがう模型と考えます。
では,３個の球と２本の棒をすべて使ってできる模型を作ってください。
ゆうき：２つの模型(図３)ができました。
先生：え , お は．同じ模型と考えます。
ゆうき：えっ,どうしてですか？
先生：えの模型の棒を,図４のように動かしたときにできる模型を考えてください。
ゆうき：なるほど。だから, え ,お は同じ模型と考えるんですね。
先生：次に,４個の球と３本の棒で,模型を作ってください。
ゆうき：できました(図５)。
先生：正解です。さらに図５以外に,もう１つ a 別の模型 ができます。
ただし,図６のように,２つに分けて作ることはしないものとします。
(１) 次の①,②の問いに答えなさい。
① 下線部 a について,図５にならってかきなさい。
② ４個の球と５本の棒をすべて使って作ることのできる模型をすべてかきなさい。ただし,図６のように２つに分けて作ることはしないものとします。
先生：次に,立体的な模型を考えてみましよう。
ゆうき：「球と棒」(図１)を使って,先生が作ったb 模型(図７)と同じ ものを作りたいのですが,球は何個必要ですか。
先生：ヒントをあげましょう。図７は,図８の模型が12個と図９の模型が20個見えます。
(２) 下線部b について,球は何個必要か,書きなさい。
また,そう考えた理由も具体的に書きなさい。
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□解答
(１)
①
……答え
②
■ 連結した長い部分の球の数が４個のとき,次のように,４通りあります。
■ 連結した長い部分の球の数が３個のとき,次のように,３通りあります。
■ 連結した長い部分の球の数が２個のとき,次のように,２通りあります。
答えは,上記９個の模型の図となります。
(２)
図８の模型(球は５個)を12個作るのに必要な球の数は,
12×５＝60(個)になります。
また,図９の模型(球は６個)を20個作るのに必要な球の数は,
６×20＝120(個)になります。
これらを組み合わせないときの球の数の合計は
60＋120＝180(個)になります。
ここで,組み合わせた図７の模型をつくるとき,どの球も２つの模型の球につながっているので,
180個を３で割った数が必要な球の数になります。
よって,必要な球の数は,180÷３＝60(個)になります。
理由は,上記をまとめて解答例は次のようになります。
図８の模型を12個作るのに必要な球の数は,60個で,
図９の模型を20個作るのに必要な球の数は,120個になる。
これらを組み合わせないときの球の数の合計は,60＋120＝180(個)。
組み合わせた図７の模型をつくるとき,どの球も２つの模型の球につながっているので,
180個を３で割った数が必要な球の数になるため。
必要な球の数……60個
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いかがでしたか？
(１)の数をきちんと答えられた人は少ないのではないでしょうか？
連結した長い部分の球の数が４個、３個、２個と場合分け整理して考えることがポイントです。
しかし、これらをもれなく書くことは、かなり難しく、特に、輪っかになる形がなかなか思い浮かばないようですね。
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