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入試の解説
大変お待たせしました。
２０１４年の東大文系第３問と、理系第６問の解説の続きです。
東大で超頻出のテーマである、通過領域について、皆さんのノウハウになるよう、しっかり書こうと思い、少しお時間を頂きました。
前回と前回の記事
２０１４年 東大文系数学第３問 理系第６問 通過領域の解法をノウハウにしよう！
で、通過領域に必要な解法の種類を、基本問題で解説しましたので、どうぞ先にご覧くださいませ。
定通過領域の問題にたどり着くまで。
では、まずは問題を見てからどう考えるか、です。
問題はこちら。
まず、ｙ＝√３ｘと、ｙ＝－√３ｘが見えますが、傾きが√３と来たら、６０度の傾きになっているのを思い浮かべなければなりません。
すぐに反応しましょう。
計算用紙に、ｘｙ座標と、２本の直線を書き、６０度を意識。
点Ｐと点Ｑのｘ座標をｐとｑかなんかで置いてみると、なんとＯＰが２ｐ、ＯＱが-２ｑとなり、
ＯＰ＋ＯＱ＝６の縛りも、
２ｐ-２ｑ＝６
⇔
ｐ-ｑ＝３
という、単純な式で落ち着きます。
あら簡単。ここまでは、あまり不自然な発想はないかと思います。
ちなみに、ｐの定義域やｑの定義域も、問題文を読めば
０≦ｐ≦２、－３≦ｑ≦０と簡単に求められます。
ｐ－ｑ＝３から、ｐに統一するか、ｑに統一するかの２択がありますが、素直に正の数であるｐに統一した方が良いでしょう。
よって、－３≦ｑ≦０に代入して、
－３≦ｐ－３≦０
⇔
０≦ｐ≦３
よって、０≦ｐ≦０ と、０≦ｐ≦３の共通部分を求めて、０≦ｐ≦２が定義域になります。
次に、直線ＰＱを求めますが、これは簡単。
直線の方程式の公式を使えば簡単です。
そして、（ｓ、ｔ）を代入。
すると、ｓとｔとｐの関係式が求められます。
ここから、通過領域の問題のスタートです。
解の配置で解く！
では、まずは解の配置で解く解法です。
最終的にはｓｔ平面の図を描くことになるので、ｐがパラメータになります。
そこで「ｐがｓの定義域に少なくとも１つ実数解を持つ条件」を求めるというのが方針です。
以下のようになります。
今回の問題は、通過領域の問題というだけでなく、ｓの範囲がややこしくて難しさが増しています。
先ほど求めた０≦ｐ≦２という範囲と、ｓ≦ｐ≦ｓ＋３の共通部分が、何パターンかに分かれていて、さらに軸の位置でも場合を分けるという、ややこしさ。
まず滅多に見る事の出来ない面倒臭さです。
しかも解の配置では、場合分けが多くなることが多いので、非常に面倒な解法となってしまいました。
すだれ法（ファクシミリ論法）で解く！
次にすだれ法（ファクシミリ論法）を利用した解法です。
方針としては、ｓとｔとｐの関係式において、ｓで場合分けをし、ｔの値域を求めます。
もっと具体的にいうと、
（ｔの最小値）≦ｔ≦（ｔの最大値）
という評価の式を作るのが目的です。
では解法をどうぞ（解の配置と似ています。）
これの方が、少し簡単でしょう。
少し計算量が減りましたし、使いこなせれば見通しが良いと思います。
包絡線で解く！
では、最後に包絡線を使った解法です。
包絡線の方針は、
ｓとｔとｐの関係式と、それをｐで微分した式を連立します。
すると、元々の式が常に接しているグラフが求められてしまうという、不思議な性質を利用したものですね。
では、手書きの解答をどうぞ。
今回の包絡線の解答は、「直線」ではなくて「線分」だというところが、少し特殊。
本当に設定がややこしくて、イヤになりますね。
でも、３パターンの解法のどれでも、同じ答えに辿り着きました。
この３パターンの存在をしらないと、お手持ちの参考書や問題集で予習や復習が、非常にしにくい！
ぜひ、比較しながら参考に学習を進めて下さい！
それでは、次回は理系第６問の解答です。
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