とね日記

この深遠なテーマについてアンケートをとってみたところ、現在569人もの方から回答をいただいた。アンケートにご協力いただいた皆様、ありがとうございました。

アンケートをさせてください。
数学の定理は「発見」でしょうか？それとも「発明」でしょうか？

60% - 「発見」だと思う。
11% - 「発明」だと思う。
18% - 「発見」のときもあれば「発明」のときもあると思う。
11% - わからない。

とね日記でこの問いはこれまでに1度だけ「数学とは何か（原書第２版）：R．クーラント、H．ロビンズ、I．スチュアート」の中で言及したことがあった。

「数学の定理の証明とは（もともと存在しているものを）発見することなのか？それとも新たに創り出される発明なのか？」

これはギリシャ以来、現在に至るまで考え続けられている問いかけだ。これは初等数学から高度な抽象数学まで、それぞれ学んでいく過程で折に触れて頭を持ち上げてくる数学が持つ深遠な問いのひとつである。

ここでいう「発明」とはウィキペディアに記載されている「発明は「自然法則を利用した技術的思想の創作のうち高度のもの」と定義されている（特許法2条1項）。」という意味ではなく、「人為的に作り上げた、自然にもともと無い概念」という意味合いである。


超弦理論の研究者の大栗博司先生は著書「数学の言葉で世界を見たら」の中で、次のような意味のことをお書きになっている。

ニュートン力学における重力の概念がアインシュタインの一般相対性理論によって「修正」されたことに見られるように、物理学上の発見は後世に修正される可能性をはらんだものである。それに対し、数学の定理は一度証明されると、未来永劫くつがえされたり修正されたりすることのない「永遠の真理」である。

これはまったく正しいと思う。ピタゴラスの定理にしても覆されることはない。ユークリッド幾何学を前提とすればその証明は未来永劫正しいし、非ユークリッド幾何学を前提としても同じことである。

しかし「永遠の真理」という言葉が曲者である。まるで人間がいてもいなくても存在すること、あらかじめ宇宙の創造主が与えてくれたもののように思えてしまうからだ。そうだとすると数学はあらかじめ存在するものを人類が「発見」していることになる。プラトンの言うところの「イデア界」に人類誕生以前から存在する真理である。

また、数学は論理を積み重ねてバベルの塔のような巨大な構造物を作り上げていく人類（数学者）の営みだと言われることもある。この場合の数学は「創造」であり「発明」であると思うのだ。


「とね日記について」という記事の「現代物理学と現代数学の不思議なつながり」の冒頭で、僕は次のように書いた。

「勉強を続けていくうちに、数学は物理現象を方程式にして解いたり、物理法則を学ぶための道具であるだけでなく、それ以上のものであることもわかりました。物理学とは独立した抽象的な世界で発展した20世紀以降の現代数学は現代物理学と密接に結びついていたのです。」

数学は現実の物理世界や物理法則と密接に関わりがあるものの、物理学とは独立した存在なのだろう。数学という言葉は人によってイメージするものが違うということも確かだ。「発見か発明か」という問いに対する回答も、どのような数学をイメージするか、どのような数学を学んできたかによって違ってくるのだろう。

アンケートに対する回答に「発見である」と断定的に回答している人は60パーセントいるし「発見のときもあれば発明のときもあると思う。」と回答している人も18パーセントに及んでいる。

だから個別に例をあげて考える必要がありそうだ。数学のそれぞれの事がらについて、僕が「発見」と「発明」のどちらに感じるかを以下に列挙しておこう。もしかすると互いに矛盾しているものがあるかもしれない。


自然数の存在、ペアノの公理
自然数の存在は「発見」であるが、それを構成するためのペアノの公理は「発明」だと思う

実数の連続性、デデキントの切断
実数の存在は「発見」であるが、それを証明するためのデデキントの切断は「発明」だと思う。

実数の積や和の交換法則、結合法則、分配法則
これらは「発見」だと思う。

外積代数（非可換代数）、グラスマン数
これも「発見」だと思う。

ピタゴラスの定理
「発見」だと思う。

2次方程式の解の公式
「発見」だと思う。

三角関数の正弦定理、余弦定理
「発見」だと思う。

微分・積分
「発見」だと思う。

積の微分法則（ライプニッツの法則）
「発見」だと思う。

弱微分
弱微分とは通常の意味での関数の微分（強微分）の概念を、微分可能とは限らないが積分可能である関数（ルベーグ空間に属する関数）に対して一般化したものだ。通常の微分は「発見」だと思うが、弱微分については僕はどうも「発明」だと感じてしまう。

線形代数、ベクトル、行列、テンソル
加法、積の計算法則から定義されているので「発見」だと思う。

リーマン幾何学における測地線の方程式
「発見」だと思う。

オイラーの公式、オイラーの等式
「発見」だと思う。

位相の定義、ルベーグ積分の定義
定義自体がかなり人為的に見えるので「発明」（創造）だと思う。

バナッハ空間
バナッハ空間はルベーグ p-乗可積分関数の空間で、ルベーグ積分を「発明」としたため、バナッハ空間も「発明」となりそうだ。

オイラー標数をはじめとする位相不変量
「発見」だと思う。

3次元空間にあるトーラス、メビウスの輪
「発見」だと思う。

4次元空間にあるクロスキャップ、クラインの壺、射影平面
「発見」だと思う。

層・圏・トポス
定義自体がかなり人為的に見えるので「発明」（創造）だと思う。

複素関数論（コーシーの積分定理、留数定理、解析接続など）
「発見」だと思う。

リーマン面、多価関数
「発見」だと思う。

フラクタル幾何学
「発見」だと思う。

実多様体、複素多様体
「発見」だと思う。

中学数学で学ぶX-Y平面
「発見」だと思う。（実多様体を「発見」とするならば、X-Y平面を「発明」とするわけにはいかない。）

ガウス=ボネの定理
「発見」だと思う。

アティヤ=シンガーの指数定理
ガウス=ボネの定理の一般化だから「発見」だと思う。

ホモトピー、ホモロジー、コホモロジー
「発見」だと思う。

ド・ラームの定理
「発見」だと思う。

エキゾチックな球面
「発見」だと思う。エキゾチックな球面とは、7次元の球面は相異なる28通りの微分構造を持つというもの。

ドナルドソンの定理
「発見」だと思う。ドナルドソンの定理とは、4次元空間では微分構造の数が無限個になるというものだ。

ヒルベルト空間、フォック空間
「発見」だと思う。

ソボレフ空間
ソボレフ空間とは関数からなるベクトル空間で、関数それ自身とその与えられた階数までの導関数の L^p-ノルムを組み合わせて得られるノルムを備えたものである。ここでいう微分を適当な弱い意味での微分と解釈することにより、ソボレフ空間は完備距離空間、したがってバナッハ空間を成す。
バナッハ空間を「発明」とし、弱微分が「発明」と感じたのだから、ソボレフ空間は「発明」だと思う。

群論、リー群論
「発見」だと思う。

モンスター群など散在型有限単純群
「発見」だと思う。

四色定理（四色問題）
証明にはコンピュータが使われたが、四色定理が意味する事がら自体は「発見」だと思う。

ポアンカレ予想
「発見」だと思う。

フェルマーの最終定理
「発見」だと思う。

素数、リーマン予想
「発見」だと思う。

エラトステネスの篩（素数を見つけ出すアルゴリズム）
計算手順、アルゴリズムは「発明」だと思う。

ラマヌジャンが書き残した数々の複雑な公式
「発見」と言いたいところだが、あまりにも技巧的に見えるので「発明」だと思う。

ゲーデルの不完全性定理
定理を証明するための手法は「発明」だが、その結果証明された事がらは「発見」だと思う。それは第1不完全性定理、第2不完全性定理のどちらについてもだ。

ラングランズ予想が示す異なる数学分野のミステリアスなつながり
「発見」だと思う。

確率論（ラプラスの確率論）
「発見」だと思う。

確率論（現代集合論、測度論に基づく確率論）
「発明」だと思う。

ブラック?ショールズ方程式
ブラック?ショールズ方程式は現代集合論に基づく確率論、確率過程論、伊藤の補題などの「発明」から導かれる金融数学の偏微分方程式だ。さらに前提条件をヨーロピアンオプションやアメリカンタイプのプット・オプションのように人為的に設定できるから「発明」である。

統計学（分布、平均、偏差、大数の法則）
ラプラスの確率論に基づいているから「発見」だと思う。

統計解析、回帰分析
数学手法なので「発明」だと思う。

応用数学
一般的に応用数学は「発明」だと思う。

線形計画法、オペレーションズ・リサーチ
応用数学に含まれるので「発明」だと思う。

カオス理論、複雑系
力学が見せるカオスを除外して、数学的なことだけについていえば「発見」だと思う。コンピュータを使って力学的なカオスをシミュレートすることは「発明」だと思う。

ブール代数
「発見」だと思う。

情報理論（シャノンの通信の数学的理論、古典情報理論）
「発見」が半分「発明」が半分と感じる。区別するのが難しい。

量子情報理論
古典情報理論は判断が難しいが、量子情報理論で使われる数学は複素線形代数なので「発見」だと感じる。不思議だ。

アルゴリズム（たとえばショアのアルゴリズム、ソート）
アルゴリズムは「発明」だと思う。

暗号理論（たとえばRSA暗号）
アルゴリズムと同様、暗号理論は「発明」だと思う。


それぞれについて、みなさんはどのようにお感じになるだろうか？

動画の紹介：

数学は「発明」か「発見」か | Toshikazu Sunada | TEDxMeijiUniversity


数学は発見されたのか 発明されたのか - ジェフ・デコフスキー（日本語字幕つき）



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神は数学者か?―ー数学の不可思議な歴史： マリオ・リヴィオ
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https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/b3ce277f0624f0adea8186a0168bcf99


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