数学 - 三角関数(Trigonometric Function) - 逆三角関数 - 逆正接関数の級数展開(逆正弦関数のテイラー展開)

オイラーの贈物

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Microsoft Edge, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第II部(関数の定義(Definitions of Functions))、第7章(三角関数(Trigonometric Function))、7.9(逆三角関数)、7.9.3(逆正接関数の級数展開)、問題4.を取り組んでみる。

4. 
   $\begin{array}{l}Si{n}^{-1}x=\arcsin x\\ \frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ ={\left(1-x^2\right)}^{-\frac{1}{2}}\\ =1+\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}{x}^2+\frac{5}{16}{x}^3+\cdots \\ \\ \arcsin x={\displaystyle \int \left(1+\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}{x}^2+\frac{5}{16}{x}^3+\cdots \right)dx}\\ =x+\frac{1}{4}{x}^2+\frac{3}{24}{x}^3+\frac{5}{64}{x}^4+\cdots \end{array}$