数学 - 線型代数 - 行列式 - 置換(置換の積の符号、置換の符号の積、逆置換の符号)

線型代数入門

学習環境

• Surface 3 (4G LTE)、Surface 3 タイプ カバー、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(行列式)、4(置換)、問題1.を取り組んでみる。

1. 
   
   $\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->},\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\text{'}$

   がともに偶置換の場合、

   $\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\text{'}$

   は偶置換である。
   よって、

   $\begin{array}{}sgn\left(\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\text{'}\right)=1\\ sgn\left(\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\right)sgn\left(\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\text{'}\right)=1·\; <!--\; middle\; dot\; -->1=1\end{array}$

   ともに奇置換の場合、

   $\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\text{'}$

   は偶置換なので

   $\begin{array}{}sgn\left(\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\text{'}\right)=1\\ sgn\left(\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\right)sgn\left(\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\text{'}\right)=\left(-1\right)\left(-1\right)=1\end{array}$

   一方が偶置換、他方が奇置換の場合、

   $\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\text{'}$

   は奇置換なので

   $\begin{array}{}sgn\left(\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\text{'}\right)=-1\\ sgn\left(\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\right)sgn\left(\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\text{'}\right)=\left(-1\right)1=-1\end{array}$

   また、 ある置換の逆置換の偶奇性はもとの置換の偶奇性と一致するので、

   $sgn\left({\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}}^{-1}\right)=sgn\left(\mathrm{\sigma \; <!--\; greek\; small\; letter\; sigma\; -->}\right)$