東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０１３年ＡＩＭＥの整数問題です。

問題は、
「Ｎは正の整数で、１０００Ｎから始まる連続する１０００個の整数のなかに平方数を含まない組を考えるとき、それらの組のなかで最も小さいＮの値を求めよ。」
です。

与えられた条件は、Ｍを正の整数とすると、

になるので、これを基に調べていきましょう。

まず（１）から、

で、これからＭがとりうる範囲を求めると、

です。

ここで、
Ｍ＝５００＋ｍ　（ｍは非負整数）
として、

を計算すると、

になります。

ここで（２）の右辺の １０００（２５１＋ｍ）は１０００Ｎなので、これと（１）の左側の不等式から、

になり、このとき、

なので、

です。

これからｍ＝３１のとき、１０００Ｎは最小値１０００Ｎmin になり、その値は、

です。

このとき、

と与えられた条件を満たします。

以上から、Ｎの最小値は、２８２ で、これが答えです。


簡単な問題です。