こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、令和２年度筑波大附属駒場中の問題です。
問題は、
「次の問いに答えなさい。
（１） １個５０円の品物Ａ、１個１００円の品物Ｂをそれぞれ何個か買ったところ、代金は１０００円でした。Ａ、Ｂを買った個数の組み合わせとして考えられるものは何通りありますか。
ただし、どの品物もそれぞれ少なくとも１個は買うものとします。
（２） １個５０円の品物Ａ、１個１００円の品物Ｂ、１個１５０円の品物Ｃをそれぞれ何個か買ったところ、代金は７００でした。Ａ、Ｂ、Ｃを買った個数の組み合わせとして考えられるものは何通りありますか。
ただし、どの品物もそれぞれ少なくとも１個は買うものとします。
（３） １個４７円の品物Ｘ、１個９７円の品物Ｙ、１個１４７円の品物Ｚをそれぞれ何個か買ったところ、代金は１４９９円でした。Ｘ、Ｙ、Ｚを買った個数の組み合わせとして考えられるものは何通りありますか。
ただし、どの品物もそれぞれ少なくとも１個は買うものとします。」
です。
品物Ａ、Ｂを買った個数をそれぞれａ、ｂ（ａ、ｂは１以上の整数）とすると、
５０ａ＋１００ｂ＝１０００
が成り立ち、これを整理すると、
ａ＋２ｂ＝２０
です。
これと、 ａ≧１ から
ａ＝２０－２ｂ≧１
になり、右側の不等式を整理すると、
２ｂ≦２０－１＝１９
で、このとき、ｂは１以上の整数なので、
１≦ｂ≦９
です。
したがって、Ａ、Ｂを買った個数の組み合わせは ９通り で、これが（１）の答えです。
[ａとｂの組（ａ，ｂ）は、（２，９）（４，８）（６，７）（８，６）（１０，５）（１２，４）（１４，３）（１６，２）（１８，１）です]
次に（２）です。
品物Ａ、Ｂ、Ｃを買った個数をそれぞれａ、ｂ、ｃ（ａ、ｂ、ｃは１以上の整数）とすると、
５０ａ＋１００ｂ＋１５０ｃ＝７００
が成り立ち、これを整理すると、
ａ＋２ｂ＋３ｃ＝１４ [１]
です。
これから
３ｃ＝１４－ａ－２ｂ≦１４－１－２＝１１
になり、このとき、ｃは１以上の整数なので、
１≦ｃ≦３
です。
ここから、ｃで場合分けします。
● ｃ＝１の場合
[１]から
ａ＋２ｂ＝１１
です。
これと、 ａ≧１ から
ａ＝１１－２ｂ≧１
になり、右側の不等式を整理すると、
２ｂ≦１１－１＝１０
で、このとき、ｂは１以上の整数なので、
１≦ｂ≦５
です。
したがって、Ａ、Ｂ、Ｃを買った個数の組み合わせは ５通りです。
● ｃ＝２の場合
[１]から
ａ＋２ｂ＝８
です。
これと、ａ≧１ から
ａ＝８－２ｂ≧１
になり、右側の不等式を整理すると、
２ｂ≦８－１＝７
で、このとき、ｂは１以上の整数なので、
１≦ｂ≦３
です。
したがって、Ａ、Ｂ、Ｃを買った個数の組み合わせは ３通りです。
● ｃ＝３の場合
[１]から
ａ＋２ｂ＝５
です。
これと、ａ≧１ から
ａ＝５－２ｂ≧１
になり、右側の不等式を整理すると、
２ｂ≦５－１＝４
で、このとき、ｂは１以上の整数なので、
１≦ｂ≦２
です。
したがって、Ａ、Ｂ、Ｃを買った個数の組み合わせは ２通りです。
以上から、Ａ、Ｂ、Ｃを買った個数の組み合わせは、５＋３＋２＝ １０（通り） で、これが答えです。
[ａ、ｂ、ｃの組（ａ，ｂ，ｃ）は、（１，５，１）（３，４，１）（５，３，１）（７，２，１）（９，１，１）（２，３，２）（４，２，２）（６，１，２）（１，２，３）（３，１，３）です]
最後の（３）です。
品物Ｘ、Ｙ、Ｚを買った個数をそれぞれｘ、ｙ、ｚ（ｘ、ｙ、ｚは１以上の整数）とすると、
４７ｘ＋９７ｙ＋１４７ｚ＝１４９９ [２]
が成り立ちます。
ここで[２]を
５０（ｙ＋２ｚ）＋４７（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝１４９９
とし、左辺の２番目の（ ）を移項すると、
５０（ｙ＋２ｚ）＝１４９９－４７（ｘ＋ｙ＋ｚ） [３]
になります。
このとき、ｙ＋２ｚ≧３ から
１５０≦１４９９－４７（ｘ＋ｙ＋ｚ）
になり、これを整理すると、
４７（ｘ＋ｙ＋ｚ）≦１４９９－１５０＝１３４９
→ ｘ＋ｙ＋ｚ≦２８
です。
したがって、
３≦ｘ＋ｙ＋ｚ≦２８ [４]
です。
一方[３]の左辺が１０の倍数であることから、４７（ｘ＋ｙ＋ｚ）の一の位の数は９で、したがって、ｘ＋ｙ＋ｚ の一の位は７になり、すると[４]から、ｘ＋ｙ＋ｚ の候補は、７、１７、２７ です。
次に[３]の両辺を２倍して、
１００（ｙ＋２ｚ）＝２９９８－９４（ｘ＋ｙ＋ｚ）
とすると、左辺が１００の倍数であることから、９４（ｘ＋ｙ＋ｚ） の下２桁の数は９８で、上記の ｘ＋ｙ＋ｚ の候補のなかでこれを満たすのは １７ だけなので（９４×７＝６５８、９４×１７＝１５９８、９４×２７＝２５３８）、
ｘ＋ｙ＋ｚ＝１７ [５]
になります。
ここで[５]を[３]に代入すると、
５０（ｙ＋２ｚ）＝１４９９－４７×１７＝７００
→ ｙ＋２ｚ＝１４
です。
これと、ｙ≧１ から
ｙ＝１４－２ｚ≧１
になり、右側の不等式を整理すると、
２ｚ≦１４－１＝１３
で、このとき、ｚは１以上の整数なので、
１≦ｚ≦６
です。
したがって、Ｘ、Ｙ、Ｚを買った個数の組み合わせは ６通り で、これが答えです。
[ｘ、ｙ、ｚの組（ｘ，ｙ，ｚ）は、（９，２，６）（８，４，５）（７，６，４）（６，８，３）（５，１０，２）（４，１２，１）です]
（３）は、
・[２]から、１≦ｘ≦２６、１≦ｙ≦１３、１≦ｚ≦９ → ３≦ｙ＋２ｚ＝Ｐ≦３１、ｘ＋ｙ＋ｚ＝Ｑ
・[３]から、 ５０Ｐ＋４７Ｑ＝１４９９
・互除法を使って、５０×４８４＋４７×（－４８３）＝１４９９ を求め、上式と辺々を引いて、
５０（Ｐ－４８４）＋４７（Ｑ＋４８３）＝０ → Ｐ＝４７ｋ＋４８４
・３≦Ｐ＝４７ｋ＋４８４≦３１ → Ｐ＝１４ （ｋ＝－１０）
とするのが一般的解法です。
簡単な問題です。
今回は、令和２年度筑波大附属駒場中の問題です。
問題は、
「次の問いに答えなさい。
（１） １個５０円の品物Ａ、１個１００円の品物Ｂをそれぞれ何個か買ったところ、代金は１０００円でした。Ａ、Ｂを買った個数の組み合わせとして考えられるものは何通りありますか。
ただし、どの品物もそれぞれ少なくとも１個は買うものとします。
（２） １個５０円の品物Ａ、１個１００円の品物Ｂ、１個１５０円の品物Ｃをそれぞれ何個か買ったところ、代金は７００でした。Ａ、Ｂ、Ｃを買った個数の組み合わせとして考えられるものは何通りありますか。
ただし、どの品物もそれぞれ少なくとも１個は買うものとします。
（３） １個４７円の品物Ｘ、１個９７円の品物Ｙ、１個１４７円の品物Ｚをそれぞれ何個か買ったところ、代金は１４９９円でした。Ｘ、Ｙ、Ｚを買った個数の組み合わせとして考えられるものは何通りありますか。
ただし、どの品物もそれぞれ少なくとも１個は買うものとします。」
です。
品物Ａ、Ｂを買った個数をそれぞれａ、ｂ（ａ、ｂは１以上の整数）とすると、
５０ａ＋１００ｂ＝１０００
が成り立ち、これを整理すると、
ａ＋２ｂ＝２０
です。
これと、 ａ≧１ から
ａ＝２０－２ｂ≧１
になり、右側の不等式を整理すると、
２ｂ≦２０－１＝１９
で、このとき、ｂは１以上の整数なので、
１≦ｂ≦９
です。
したがって、Ａ、Ｂを買った個数の組み合わせは ９通り で、これが（１）の答えです。
[ａとｂの組（ａ，ｂ）は、（２，９）（４，８）（６，７）（８，６）（１０，５）（１２，４）（１４，３）（１６，２）（１８，１）です]
次に（２）です。
品物Ａ、Ｂ、Ｃを買った個数をそれぞれａ、ｂ、ｃ（ａ、ｂ、ｃは１以上の整数）とすると、
５０ａ＋１００ｂ＋１５０ｃ＝７００
が成り立ち、これを整理すると、
ａ＋２ｂ＋３ｃ＝１４ [１]
です。
これから
３ｃ＝１４－ａ－２ｂ≦１４－１－２＝１１
になり、このとき、ｃは１以上の整数なので、
１≦ｃ≦３
です。
ここから、ｃで場合分けします。
● ｃ＝１の場合
[１]から
ａ＋２ｂ＝１１
です。
これと、 ａ≧１ から
ａ＝１１－２ｂ≧１
になり、右側の不等式を整理すると、
２ｂ≦１１－１＝１０
で、このとき、ｂは１以上の整数なので、
１≦ｂ≦５
です。
したがって、Ａ、Ｂ、Ｃを買った個数の組み合わせは ５通りです。
● ｃ＝２の場合
[１]から
ａ＋２ｂ＝８
です。
これと、ａ≧１ から
ａ＝８－２ｂ≧１
になり、右側の不等式を整理すると、
２ｂ≦８－１＝７
で、このとき、ｂは１以上の整数なので、
１≦ｂ≦３
です。
したがって、Ａ、Ｂ、Ｃを買った個数の組み合わせは ３通りです。
● ｃ＝３の場合
[１]から
ａ＋２ｂ＝５
です。
これと、ａ≧１ から
ａ＝５－２ｂ≧１
になり、右側の不等式を整理すると、
２ｂ≦５－１＝４
で、このとき、ｂは１以上の整数なので、
１≦ｂ≦２
です。
したがって、Ａ、Ｂ、Ｃを買った個数の組み合わせは ２通りです。
以上から、Ａ、Ｂ、Ｃを買った個数の組み合わせは、５＋３＋２＝ １０（通り） で、これが答えです。
[ａ、ｂ、ｃの組（ａ，ｂ，ｃ）は、（１，５，１）（３，４，１）（５，３，１）（７，２，１）（９，１，１）（２，３，２）（４，２，２）（６，１，２）（１，２，３）（３，１，３）です]
最後の（３）です。
品物Ｘ、Ｙ、Ｚを買った個数をそれぞれｘ、ｙ、ｚ（ｘ、ｙ、ｚは１以上の整数）とすると、
４７ｘ＋９７ｙ＋１４７ｚ＝１４９９ [２]
が成り立ちます。
ここで[２]を
５０（ｙ＋２ｚ）＋４７（ｘ＋ｙ＋ｚ）＝１４９９
とし、左辺の２番目の（ ）を移項すると、
５０（ｙ＋２ｚ）＝１４９９－４７（ｘ＋ｙ＋ｚ） [３]
になります。
このとき、ｙ＋２ｚ≧３ から
１５０≦１４９９－４７（ｘ＋ｙ＋ｚ）
になり、これを整理すると、
４７（ｘ＋ｙ＋ｚ）≦１４９９－１５０＝１３４９
→ ｘ＋ｙ＋ｚ≦２８
です。
したがって、
３≦ｘ＋ｙ＋ｚ≦２８ [４]
です。
一方[３]の左辺が１０の倍数であることから、４７（ｘ＋ｙ＋ｚ）の一の位の数は９で、したがって、ｘ＋ｙ＋ｚ の一の位は７になり、すると[４]から、ｘ＋ｙ＋ｚ の候補は、７、１７、２７ です。
次に[３]の両辺を２倍して、
１００（ｙ＋２ｚ）＝２９９８－９４（ｘ＋ｙ＋ｚ）
とすると、左辺が１００の倍数であることから、９４（ｘ＋ｙ＋ｚ） の下２桁の数は９８で、上記の ｘ＋ｙ＋ｚ の候補のなかでこれを満たすのは １７ だけなので（９４×７＝６５８、９４×１７＝１５９８、９４×２７＝２５３８）、
ｘ＋ｙ＋ｚ＝１７ [５]
になります。
ここで[５]を[３]に代入すると、
５０（ｙ＋２ｚ）＝１４９９－４７×１７＝７００
→ ｙ＋２ｚ＝１４
です。
これと、ｙ≧１ から
ｙ＝１４－２ｚ≧１
になり、右側の不等式を整理すると、
２ｚ≦１４－１＝１３
で、このとき、ｚは１以上の整数なので、
１≦ｚ≦６
です。
したがって、Ｘ、Ｙ、Ｚを買った個数の組み合わせは ６通り で、これが答えです。
[ｘ、ｙ、ｚの組（ｘ，ｙ，ｚ）は、（９，２，６）（８，４，５）（７，６，４）（６，８，３）（５，１０，２）（４，１２，１）です]
（３）は、
・[２]から、１≦ｘ≦２６、１≦ｙ≦１３、１≦ｚ≦９ → ３≦ｙ＋２ｚ＝Ｐ≦３１、ｘ＋ｙ＋ｚ＝Ｑ
・[３]から、 ５０Ｐ＋４７Ｑ＝１４９９
・互除法を使って、５０×４８４＋４７×（－４８３）＝１４９９ を求め、上式と辺々を引いて、
５０（Ｐ－４８４）＋４７（Ｑ＋４８３）＝０ → Ｐ＝４７ｋ＋４８４
・３≦Ｐ＝４７ｋ＋４８４≦３１ → Ｐ＝１４ （ｋ＝－１０）
とするのが一般的解法です。
簡単な問題です。
