数学 - Python - 線型代数 - 固有値と固有ベクトル - 対角化の条件(3次、実数の範囲と複素数の範囲)

線型代数入門

学習環境

• Surface Go、タイプ カバー、ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro + Apple Pencil
• MyScript Nebo(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門
  • JavaScriptリファレンス 第6版
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション

線型代数入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(固有値と固有ベクトル)、4(対角化の条件)、問題4-(a)、(b).を取り組んでみる。

4. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}x& 0& -1\\ 0& x-2& 0\\ -3& 0& x\end{array}\right)\\ =x^2\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)\\ =\left(x^2-3\right)\left(x-2\right)\end{array}$

      よって固有値は、

      $\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3},2$

      固有ベクトルを求める。

      $\begin{array}{}\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}a-c=0\\ \left(\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}-2\right)b=0\\ -3a\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}c=0\\ b=0,a=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3},c=3\\ \left(\begin{array}{c}\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}\\ 0\\ 3\end{array}\right)\\ 2a-c=0\\ -3a+2c=0\\ a=0,c=0\\ \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)\end{array}$

      問題の行列は対角化可能で、対角化する正則行列は、

      $P=\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{3}& -\sqrt{3}& 0\\ 0& 0& 1\\ 3& 3& 0\end{array}\right)$
   2. 
      
      $\begin{array}{}\det \left(\begin{array}{ccc}x-1& -3& -5\\ 0& x-1& 0\\ 2& 2& x-3\end{array}\right)\\ ={\left(x-1\right)}^2\left(x-3\right)+10\left(x-1\right)\\ =\left(x-1\right)\left(x^2-4x+3+10\right)\\ =\left(x-1\right)\left(x^2-4x+13\right)\\ 4-13=-9<0\end{array}$

      よって、実数においては対角化可能ではない。

      複素数においては対角化可能。

      固有値、固有ベクトルを求める。

      $\begin{array}{}x=1,2\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->3i\\ -3b-5c=0\\ 2a+2b-2c=0\\ c=-\frac{3}{5}b\\ 2a+2b+\frac{6}{5}b=0\\ a=\frac{1}{2}\left(-2b-\frac{6}{5}b\right)\\ \left(\begin{array}{c}-8\\ 5\\ -3\end{array}\right)\\ \left(1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->3i\right)b=0\\ 2a+2b+\left(-1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->3i\right)c=0\\ b=0\\ \left(1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->3i\right)a-5c=0\\ 2a+\left(-1\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->3i\right)c=0\\ a=1\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->3i,c=2\\ \left(\begin{array}{c}1\mp \; <!--\; latex:\; \backslash mp\; -->3i\\ 0\\ 2\end{array}\right)\end{array}$

      よって、対角化する正則行列は、

      $P=\left(\begin{array}{ccc}-8& 1-3i& 1+3i\\ 5& 0& 0\\ -3& 2& 2\end{array}\right)$

コード(Emacs)

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, I, sqrt

print('4.')

As = [Matrix([[0, 0, 1],
              [0, 2, 0],
              [3, 0, 0]]),
      Matrix([[1, 3, 5],
              [0, 1, 0],
              [-2, -2, 3]])]
Ps = [Matrix([[sqrt(3), -sqrt(3), 0],
              [0, 0, 1],
              [3, 3, 0]]),
      Matrix([[-8, 1 - 3 * I, 1 + 3 * I],
              [5, 0, 0],
              [-3, 2, 2]])]

for i, (A, P) in enumerate(zip(As, Ps)):
    print(f'({chr(ord("a") + i)})')
    for t in [A, P, P ** -1, P ** -1 * A * P]:
        pprint(t.expand())
        print()
    print()

入出力結果(Terminal, Jupyter(IPython))

$ ./sample4.py
4.
(a)
⎡0  0  1⎤
⎢       ⎥
⎢0  2  0⎥
⎢       ⎥
⎣3  0  0⎦

⎡√3  -√3  0⎤
⎢          ⎥
⎢0    0   1⎥
⎢          ⎥
⎣3    3   0⎦

⎡ √3         ⎤
⎢ ──   0  1/6⎥
⎢ 6          ⎥
⎢            ⎥
⎢-√3         ⎥
⎢────  0  1/6⎥
⎢ 6          ⎥
⎢            ⎥
⎣ 0    1   0 ⎦

⎡√3   0   0⎤
⎢          ⎥
⎢0   -√3  0⎥
⎢          ⎥
⎣0    0   2⎦


(b)
⎡1   3   5⎤
⎢         ⎥
⎢0   1   0⎥
⎢         ⎥
⎣-2  -2  3⎦

⎡-8  1 - 3⋅ⅈ  1 + 3⋅ⅈ⎤
⎢                    ⎥
⎢5      0        0   ⎥
⎢                    ⎥
⎣-3     2        2   ⎦

⎡ 0      1/5       0   ⎤
⎢                      ⎥
⎢ ⅈ   3    13⋅ⅈ  1   ⅈ ⎥
⎢ ─   ── + ────  ─ - ──⎥
⎢ 6   20    60   4   12⎥
⎢                      ⎥
⎢-ⅈ   3    13⋅ⅈ  1   ⅈ ⎥
⎢───  ── - ────  ─ + ──⎥
⎣ 6   20    60   4   12⎦

⎡1     0        0   ⎤
⎢                   ⎥
⎢0  2 + 3⋅ⅈ     0   ⎥
⎢                   ⎥
⎣0     0     2 - 3⋅ⅈ⎦


$