今回は、「部分分数分解」を利用した数列の和について解説します。
この記事は、「わか」が執筆しています。
私「わか」（https://twitter.com/wakkachan2019）は、国立大学数学科を卒業後、数学教育に10年以上関わっています。
数列の和は、「等差数列の和」「等比数列の和」「シグマの公式を利用した和」「部分分数分解を利用した和」などある程度パターンに分けることができます。
「等差数列の和」「等比数列の和」「シグマの公式を利用した和」については、こちらの記事を参考にしてください。
今回は、「部分分数分解」を利用した数列の和です。
この記事を読むと
「部分分数分解とは」
「部分分数分解を利用した数列の和」
が理解できます。
それでは早速みていきましょう。
部分分数分解とは
部分分数分解とは
部分分数分解とは
「分母が因数分解されているような分数をいくつかの分数に分解する」
こと
$$\frac{a}{(因数)(因数)}=\frac{b}{(因数)}+\frac{c}{(因数)}$$
のように変形することです。
部分分数分解 例
分母が因数分解されたものを、無理やり分けていきます。
成立していることの確認もしていきます。
$$\frac{1}{3\times4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$$
確認
(左辺)\(=\frac{1}{12}\)
(右辺)\(=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}\)
$$\frac{1}{3\times5}=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})$$
確認
(左辺)\(=\frac{1}{15}\)
(右辺)\(=\frac{1}{2}(\frac{5}{15}-\frac{3}{15})=\frac{1}{15}\)
$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$
確認
(右辺)
$$=\frac{k+1}{k(k+1)}-\frac{k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}$$
$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)})$$
確認
(右辺)
$$=\frac{1}{2}(\frac{k+2}{k(k+1)(k+2)}-\frac{k}{k(k+1)(k+2)})=\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$$
部分分数分解のやり方については以下の記事で解説していますのでご参照ください。
部分分数分解を利用した数列の和 例題１
$$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{9\cdot10}$$
$$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{9\cdot10}$$
それぞれ部分分数分解して\(\require{cancel}\)
$$=(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}})+(\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}})+(\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}})+\cdots+(\cancel{\frac{1}{8}}-\cancel{\frac{1}{9}})+(\cancel{\frac{1}{9}}-\frac{1}{10})$$
前後でちょうど打ち消し合うので
$$=\frac{1}{1}-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$$
部分分数分解を利用した数列の和 例題２
$$\sum_{k=1}^n\frac{3k+4}{k(k+1)(k+2)}$$
$$\sum_k=1^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$$
まずシグマを書き下していきます
$$=\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+1)}$$
それぞれ部分分数分解して
$$=\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\frac{1}{2}(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\cdots+\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1})+\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})\}$$
\(\dfrac{1}{2}\)を括り出して
$$=\frac{1}{2}\{(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{3}})+(\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{5}})+(\cancel{\frac{1}{5}}-\cancel{\frac{1}{7}})+\cdots+(\cancel{\frac{1}{2n-3}}-\cancel{\frac{1}{2n-1}})+(\cancel{\frac{1}{2n-1}}-\frac{1}{2n+1})\}$$
前後で打ち消し合うので
$$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})$$
$$=\frac{n}{2n+1}$$
部分分数分解を利用した数列の和 例題３
$$\sum_{k=1}^n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$$
$$\sum_{k=1}^n\frac{3k+4}{k(k+1)(k+2)}$$
部分分数分解します
$$\sum_{k=1}^n\frac{2}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$$
ここでシグマを書き下していきます
$$=\frac{2}{1\cdot2}+\frac{2}{2\cdot3}+\frac{2}{3\cdot4}+\cdots+\frac{2}{n(n+1)}$$
$$+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+\cdots+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$$
それぞれ部分分数分解して
$$=2\{(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}})+(\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}})+(\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}})+\cdots+(\cancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1})\}$$
$$+\{(\frac{1}{2}-\cancel{\frac{1}{3}})+(\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}})+(\cancel{\frac{1}{4}}-\cancel{\frac{1}{5}})+\cdots+(\cancel{\frac{1}{n+1}}-\frac{1}{n+2})\}$$
打ち消し合う部分を消して
$$=2(1-\frac{2}{n+1})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2})$$
$$=\frac{5}{2}-\frac{2}{n+1}-\frac{1}{n+2}$$
まとめ：部分分数分解を利用した数列の和
「部分分数分解を利用した数列の和」を求める流れは以下の通り
「部分分数分解」 → 数列の和を書き下す → 打ち消し合う
この解法は頻出ですので、ぜひ理解してください。
部分分数分解は様々な解法で活躍します！
以上で解説終わります。それではまた。
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