漢字戦場　～ブレイズム漢字講座ブログ～

3713時間目　～当て字・熟字訓～

次の漢字の読みを記せ。

Ⅰ　鹿葱

Ⅱ　知母

Ⅲ　鳥馬

Ⅳ　沃懸地

Ⅴ　香椿

Ⅵ　噴雪花

Ⅶ　丁斑魚

Ⅷ　蛛網

Ⅸ　煎豆湯

Ⅹ　斑雑毛

特別問題A～雑学～

次の設問に答えなさい。

(1) 湖畔にはブラックバスやブルーギルの回収ボックスが設置されている、滋賀県にある湖は何でしょう？
(2) 北海道では1000m、本州では2500mが目安とされる、背の高い植物が育つ限界の標高を何というでしょう？
(3) 京都の知恩院や二条城にあるものが有名な、歩くと軋んで音が鳴る廊下を何というでしょう？
(4) 諱を口にすることを避けるために、かつて中国で成人のときに付けられた、本名以外の名のことを何というでしょう？
(5) キーのIDコードと車のIDコードを照合して、一致したときのみエンジンを起動させる、車両の盗難防止装置を何というでしょう？

特別問題B～数学～

楕円x²＋y²/3＝1上の第1象限の点(a,b)を考える。また、A(－1,0).B(1,0)とする。

(1) 内積PA・PBをbを含まないaの式で表せ。
(2) ∠APB＝75°となるaの値を求めよ。　[千葉大]

特別問題C～数学～

a,bを正の整数とする。4ab－1が(4a²－1)²を割り切るならば、a＝bであることを示せ。

3713時間目模範解答

Ⅰ　鹿葱・・・なつずいせん[植]
概容：ヒガンバナ科の多年草。

Ⅱ　知母・・・はなすげ[植]
概容：ユリ科の多年草。

Ⅲ　鳥馬・・・つぐみ[鳥]
概容：ヒタキ科ツグミ属に分類される鳥。

Ⅳ　沃懸地・・・いかけじ
意味：蒔絵の地蒔きの一。

Ⅴ　香椿・・・チャンチン[植]
概容：センダン科の落葉高木。

Ⅵ　噴雪花・・・ゆきやなぎ
概容：バラ科の落葉小低木。

Ⅶ　丁斑魚・・・めだか[魚]
概容：ダツ目メダカ科の淡水魚。

Ⅷ　蛛網・・・い
意味：蜘蛛の糸。蜘蛛の巣。

Ⅸ　煎豆湯・・・コーヒー
概容：コーヒー豆を煎って粉に挽いたもの。

Ⅹ　斑雑毛・・・ふふき
意味：白髪が混じってる髪。

特別問題A～雑学～

(1) 琵琶湖
(2) 森林限界
(3) 鴬張り
(4) 字
(5) イモビライザー

特別問題B～数学～

(1) PA＝(－1－a,－b)、PB＝(1－a,－b)であるから、PA・PB＝(－1－a)(1－a)＋b²＝a²＋b²－1
Pは楕円上の点であるからa²＋b²/3＝1、∴b²＝3(1－a²)・・・①　代入して、PA・PB＝－2a²＋2＝2(1－a)(a－1)
(2) Pは楕円上の第1象限内の点であるから0＜a＜1である。①を用いて
|PA|＝√{(a＋1)²＋b²}＝√{2(2－a)(a＋1)}、|PB|＝√{2(a＋2)(1－a)}である。また
cos75°＝cos(30°＋45°)＝√3/2・1/√2－1/2・1/√2＝(√6－√2)/4、0＜a＜1より両辺2乗して
16(1－a)(a＋1)＝(8－4√3)(2－a)(a＋2)、4(1－a²)＝(2－√3)(4－a²)、(2＋√3)a²＝4√3－4
a²＝4(√3－1)/(2＋√3)、4(√3－1)/(2＋√3)＝4(√3－1)(2－√3)＝4(3√3－5)
したがって、$a=2\sqrt{3\sqrt{5}-5}$

特別問題C～数学～

4ab－1が(4a²－1)²を割り切るがa≠bであるような正整数の対(a,b)を不都合な対と呼ぶことにする。
(Ⅰ) (a,b)が不都合な対であるとし、a＜bであるとすると、c＜aを満たす正整数cで(a,c)が不都合な対となるものが存在する。
(証明) (a,b) (a＜b)が不都合な対であるとし、n＝(4a²－1)²/(4ab－1)とすると、n＝(－1)(－n)≡(－n)(4ab－1)＝－(4a²－1)²≡－1 (mod 4a)
となるから、ある正整数cが存在してn＝4ac－1とかける。a＜bであるから4ac－1＝(4a²－1)/(4ab－1)＜4a²－1であり、したがって、c＜aである。4ac－1は(4a²－1)²を割り切るから、(a,c)は不都合な対である。
(Ⅱ) もし(a,b)が不都合な対ならば(b,a)も不都合な対である。
(証明) 1＝1²≡(4ab)² (mod 4ab－1)であるから
(4b²－1)²≡(4b²－(4ab)²)²＝16b⁴(4a²－1)≡0 (mod 4ab－1)であるから4ab－1は(4b²－1)で割り切れる。
さて、もし不都合な対が1つでも存在したとしよう。不都合な対は正整数の対であるから、そのようなものが存在したとすると、(a,b)が不都合な対で2a＋bが最小値をとるものを選ぶことができる。このときa＜bであれば(Ⅰ)より正整数c＜a(＜b)が存在し、(a,c)も不都合な対となるが、2ac＜2a＋bであるからこれは2a＋bが最小値という条件に反する。
一方、a＞bであるとすると性質(Ⅱ)より(b,a)も不都合な対となるが、2b＋a＜2a＋bであるので最小値の条件に反する。したがって不都合な対は存在しない。

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