東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、平成２７年度東大入試問題（前期、文系）です。

問題は、
「 ｌ を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする。さらに、以下の３条件（ⅰ）、（ⅱ）、（ⅲ）で定まる円Ｃ１、Ｃ２を考える。

（ⅰ） 円Ｃ１、Ｃ２は２つの不等式ｘ≧０、ｙ≧０で定まる領域に含まれる。
（ⅱ） 円Ｃ１、Ｃ２は直線ｌ と同一点で接する。
（ⅲ） 円Ｃ１はｘ軸と点（１，０）で接し、円Ｃ２はｙ軸と接する。


円Ｃ１の半径をｒ１、円Ｃ２の半径をｒ２とする。８ｒ１＋９ｒ２ が最小となるような直線ｌ の方程式と、その最小値を求めよ。」
です。

早速、取り掛かりましょう。

図１のように、円Ｃ１とｘ軸、円Ｃ２とｙ軸、円Ｃ１と円Ｃ２の接点をそれぞれＡ、Ｂ、Ｔとすると、ＯＡ＝ＯＴ、ＯＢ＝ＯＴからＯＡ＝ＯＢが成り立ち、したがって、Ｂの座標は（０，１）になります。


ここで図２のように、円Ｃ１、Ｃ２の中心をそれぞれＰ、Ｑとすると、それらの座標は、Ｐ（１，ｒ１）、Ｑ（ｒ２，１）になります。


次にｒ１とｒ２の関係式を求めましょう。

円Ｃ１とＣ２がＴで接しているので、線分ＰＱの長さと線分ＰＴと線分ＱＴの長さが等しくなります。

線分ＰＱの長さはＰとＱの座標から

で、線分ＰＴと線分ＱＴの長さの和は、

ですから、

が成り立ちます。

この等式の両辺を２乗すると、

で、これを展開して整理すると、

になります。

このとき、

です。

ここで、１＋ｒ１＞０なので相加相乗平均から

が成り立つので、

になり、等号は、

のとき成立します。

したがって、８ｒ１＋９ｒ２の最小値は７になります。

あとは直線ｌ の式を求めるだけです。

図３のように、

で、

ですから、Ｔのｘ座標とｙ座標は、それぞれ、

です。


したがって、直線ｌ の式は、

になります。

以上をまとめると、８ｒ１＋９ｒ２の最小値は ７ 、直線ｌ の式は

で、これが答えです。


簡単な問題です。