東久留米 学習塾 塾長ブログ

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

今回は、２０２０年ＡＩＭＥの図形問題です。

問題は、
「座標平面上に△ＡＢＣと△Ａ’Ｂ’Ｃ’があり、それらの頂点は、Ａ（０，０）、Ｂ（０，１２）、Ｃ（１６，０）、Ａ’（２４，１８）、Ｂ’（３６，１８）、Ｃ’（２４，２）である。
今、点（ｘ，ｙ）を中心として、△ＡＢＣを時計周りにｍ°回転（０＜ｍ＜１８０）させて△Ａ’Ｂ’Ｃ’に移動させる。このとき、ｍ＋ｘ＋ｙの値を求めよ。」
です。

中学校で使う問題集に出てくる作図の問題です。

図１に問題の図を描きました。


図１から、辺ＡＢ＝辺Ａ’Ｂ’＝１２、辺ＡＣ＝辺Ａ’Ｃ’＝１６、∠ＢＡＣ＝∠Ｂ’Ａ’Ｃ’＝９０°なので△ＡＢＣ≡△Ａ’Ｂ’Ｃ’になり、したがって、移動（平行、対称または回転移動）によって△ＡＢＣを△Ａ’Ｂ’Ｃ’に重ねることができます。

さらに、
①線分ＡＡ’の中点を通り直線ＡＡ’と垂直に交わる直線
②線分ＢＢ’の中点を通り直線ＢＢ’と垂直に交わる直線
③線分ＣＣ’の中点を通り直線ＣＣ’と垂直に交わる直線
が１点で交わるとき、その交点を回転の中心にとする回転移動で△ＡＢＣをそれと合同な△Ａ’Ｂ’Ｃ’に重ねることができます。

そこで図２のように、①②③の直線の式を求め、それらが１点で交わるかを調べることにします。


①の直線の式
直線ＡＡ’の傾きは

で、線分ＡＡ’の中点は（１２，９）です。したがって、①は、

です。

②の直線の式
直線ＢＢ’の傾きは

で、線分ＢＢ’の中点は（１８，１５）です。したがって、②は、

です。

③の直線の式
直線ＣＣ’の傾きは

で、線分ＣＣ’の中点は（２０，１）です。したがって、③は、

です。

ここで、②と③からそれらの交点を求めると、
－６ｘ＋１２３＝－４ｘ＋８１→２ｘ＝４２→ｘ＝２１
ｙ＝－４×２１＋８１＝－８４＋８１＝－３
で、②と③の交点は（２１，－３）になります。

そこで、ｘ＝２１を①に代入すると、

になり、①②③は点（２１，－３）で交わることが判りました。

したがって、（２１，－３）が△ＡＢＣを△Ａ’Ｂ’Ｃ’に回転移動させるときの回転の中心Ｏになり、その回転角は、ＡＢ⊥Ａ’Ｂ’から９０°です。

以上から、ｍ＝９０、ｘ＝２１、ｙ＝－３になり、ｍ＋ｘ＋ｙ＝９０＋２１－３＝ １０８ で、これが答えです。


簡単な問題です。