東京へ引越しして、近隣に住んでいる方にあいさつを
するべきかとちょっと悩みますね。

結論から言うと、家族での引越しならある程度の範囲
で挨拶をしておいた方がいいですね。
挨拶には、家族全員で行った方がいいです。

一人暮らしなら、挨拶は不要だと思います。
特に女性の一人暮らしの場合は、わざわざ女性が一人で
住んでいるという情報を拡散するのも、セキュリティ上
問題なのでむしろするべきではないかと思います。